Salvador Hernández Vélez
La semana pasada traté el tema de las matemáticas griegas, donde la gran aportación es el legado del conocimiento matemático transformado a ciencia. Euclides es el filósofo-matemático que lo hizo posible, en la ciudad de Alejandría fundada por Alejandro Magno, al norte de Egipto. El trabajo de Euclides es un tratado matemático y geométrico llamado “Los Elementos”. Consta de 13 libros. Una impresión actual de una traducción íntegra del texto, sin los comentarios, llenaría un grueso volumen.
En estos 13 libros, Euclides reunió todos los conocimientos matemáticos acumulados desde las civilizaciones babilónicas hasta su época, con algunas excepciones tales como las secciones cónicas, la geometría esférica y probablemente algunos descubrimientos propios. Su gran triunfo estriba en que presenta el material de su trabajo en una forma bellamente sistematizada, considerado como un todo orgánico. Desde la primera proposición del libro I de “Los Elementos” se ve claramente que el sistema axiomático de Euclides no es completo.
De hecho fue hasta el 1900 cuando la geometría de Euclides fue dotada de una axiomática completa, trabajo que realizó David Hilbert en su famoso “Grundlagen der Geometrie”, (“Fundamentos de la Geometría”). Así sucedió también con el cálculo, hasta después de más de 200 años se fundamentó el concepto de derivada, que requirió de los conceptos de función, límite y de continuidad.
El problema que más interesó a los matemáticos desde la antigüedad hasta mediado el siglo 19 fue, sin embargo, el de la independencia del sistema axiomático de Euclides, específicamente en lo que se relaciona con el quinto postulado. El postulado de las paralelas –dada una línea recta y un punto fuera de ella, por ese punto pasan infinidad de rectas, pero sólo una es paralela–. Resulta curioso que este problema haya causado tanto interés porque la independencia de los axiomas no tiene trascendencia alguna sobre la validez lógica de la teoría euclidiana en su conjunto; esa actitud, no obstante, refleja evidentemente la postura de los antiguos matemáticos ante el significado de la palabra “axioma”: Enunciado tan evidente que se considera que no necesita demostración.
Hacia fines del siglo 18, los trabajos de Sacheri muestran los nuevos esfuerzos por demostrar la dependencia del postulado de las paralelas, esta vez se encauzaron los argumentos por la vía de las pruebas indirectas. Por ejemplo, se razonó así: si el postulado de las paralelas fuera una consecuencia de los cuatro axiomas anteriores, entonces un sistema axiomático constituido por los cuatro primeros axiomas y por la negación del quinto nos llevaría necesariamente a una contradicción, es decir, sería inconsistente, pero lejos de ocurrir así, esta nueva axiomática se convirtió sorpresivamente en base de una nueva, hermosa y consistente teoría, nació así la llamada geometría no-euclideana. Base de la Teoría de la Relatividad de Einstein.
Se probó que los cuatro primeros postulados son compatibles. Luego de dos mil años de la muerte de Euclides se pudo al fin establecer la independencia de sus postulados. Los matemáticos que echaron las bases de las geometrías no-euclideanas fueron Gauss, Bolyai y Lobachevsky. Euclides fue reivindicado precisamente por una nueva geometría, la no-euclideana. Él tenía razón cuando incluyó el postulado de las paralelas en el cuerpo de su axiomática. Que Euclides no se decidiera deliberadamente porque retrasó, cuanto pudo, el uso de ese postulado y que prefiriera, en cuanto le era posible, no utilizarlo provocó un avance más lento en las demostraciones.
Echemos una mirada de conjunto a esta exposición de las matemáticas euclidianas. Es obvio que se diferencian de las matemáticas babilónicas tanto en sus objetivos como en los métodos. Es cierto que en la estructura euclidiana reconocemos diversos elementos babilónicos, como el Teorema de Pitágoras y las ecuaciones cuadráticas, pero aparecen bajo nuevos aspectos.
A Euclides no le interesó establecer métodos para resolver variaciones triviales de los problemas típicos fundamentales. Se aplicó en fijar teoremas generales suficientemente fuertes que permitieran resolver problemas cruciales, como el de la construcción del pentágono regular; su gran desvelo, estructurar cuidadosamente la cadena de demostraciones previas que enlaza un teorema con los axiomas.
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